ジャスミンの徒然日記

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2022年度材料の力学1第1回中間試験　自作解説

はじめに

こんにちは，ジャスミンです。2年連続材料の力学1を頑張っています。自作の解答解説を作ってみたので書いてみることにします。参考にしていただけると嬉しいです。

目次

はじめに
問題
- 大問1　熱応力
- 大問2　最大主応力とトルク
略解
解説
- 大問1
- 大問2

問題

大問1　熱応力

図のように固定された壁の間に二本の棒が直列に挟まっている。ここに温度 $\Delta T$ を与えたときに棒（の長手方向）に発生する熱応力を求めよ。棒の断面積は等しく $l$ ，長さも等しく $l$ とし，合成は $E_1$ ， $E_2$ ，線膨張係数は $\alpha_1$ ， $\alpha_2$ とする。

大問2　最大主応力とトルク

図のように，直径 $d$ ，高さ $h$ の円柱の下面は床に固定されていて，上面にトルク $T$ を作用させる。円柱は密度 $\rho$ ，合成 $E$ の材料でできており，円柱には重力加速度 $g$ が作用している。

(1) 重力による上面の変異を答えよ。符号はどちらでもよい。

(2) トルク $T$ により部材に発生する最大せん断応力を答えよ。符号はどちらでもよい。

(3) 部材に作用する最大主応力を答えよ。

　ヒント：部材表面の場所によってモール円が異なるが，その内の最大主応力を考えよう。

略解

大問1 $\sigma = \frac{E_1 E_2 (\alpha_1 +\alpha_2) \Delta T}{E_1 +E_2}$

大問2

(1) $\Delta l = \frac{\rho gl^2}{2E}$

(2) $\tau = \frac{16T}{\pi d^3}$

(3) $\tau = \frac{16T}{\pi d^3}$

解説

大問1

棒1の熱による変形，熱応力による変形，棒2の熱による変形，熱応力による変形の和は0であることを利用します。応力による変形は $\Delta l=\frac{Pl}{AE}$ ，熱変形は $\Delta l=\alpha \Delta Tl$ とそれぞれ表せます。引張が正であることに注意して立式しましょう。

$\alpha_1 \Delta Tl -\frac{Pl}{AE_1}+\alpha_2 \Delta Tl -\frac{Pl}{AE_2}=0$

$\alpha_1 \Delta T -\frac{P}{AE_1}+\alpha_2 \Delta T -\frac{P}{AE_2}=0$

$\frac{R}{A}(\frac{1}{E_1} +\frac{1}{E_2})=(\alpha_1 +\alpha_2)\Delta T$

$\frac{R}{A}(\frac{E_1 + E_2}{E_1 E_2})=(\alpha_1 +\alpha_2)\Delta T$

求める熱応力 $\sigma$ は

$\sigma =\frac{R}{A} =\frac{E_1 E_2(\alpha_1 + \alpha_2)\Delta T}{E_1 + E_2}$

とわかります。

大問2

(1) 最上面の変位

断面積 $A(x)$ ，荷重 $P(x)$ ，応力 $\sigma$ ，ひずみ $\varepsilon$ ，変位 $\Delta l$ の順に求めていきます。最上面を原点として，鉛直下向きをx軸正の向きとします。

断面積は常に一定です。

$A(x)=\frac{\pi d^2}{4}$

荷重は最上面 $(x=0)$ から距離xまでの積分で求められます。

$P(x)=\int_0^x A \rho gdx=A\rho gx$

応力は定義式より求められます。

$\sigma = \frac{P(x)}{A(x)}=\rho gx$

ひずみも定義式から求められます。

$\varepsilon (x)=\frac{\sigma(x)}{E}=\frac{\rho g}{E}x$

変位はひずみを $0 \rightarrow l$ で $x$ について積分することで求められます。

$\Delta l=\int_0^l \varepsilon dx=\frac{\rho g}{E}\int_0^l xdx=\frac{\rho gl^2}{2E}$

(2) 最大せん断応力

せん断応力 $\tau$ はせん断弾性率を $G$ ，単位長さ当たりのねじれ角を $\theta$ ，棒材の半径を $r$ ，直径を $d$ として

$\tau=Gr\theta=\frac{Gd \theta}{2}$

と表せます。これに単位長さ当たりのねじれ角

$\theta=\frac{T}{GI_p}$

および断面二次極モーメント

$I_p=\frac{\pi d^4}{32}$

を代入し，

$\tau=\frac{16T}{\pi d^3}$

と求められます。

(3) 部材に作用する最大主応力

この部材の表面の一部分を切り抜いた面積素片について考えます（下図）。

　この正方形に働く力は圧縮応力が $\sigma_x$ と $\sigma_y$ ，せん断応力が $\pm \tau$ です（下図）。

これらの値は(1)，(2)より

$\sigma_x=-\rho gx$

$\sigma_y=0$

$+\tau=\frac{16T}{\pi d^3}$

$-\tau=-\frac{16T}{\pi d^3}$

であると分かります。このモール円は $x$ の値が大きくなるほど左（マイナス）方向に大きくなりながら移動します。これは圧縮応力がかかっているため，部材の下に行けば行くほど（ $x$ が大きくなるほど） $\sigma$ は小さくなるためです。下にモール円を示します。

この図から，最大主応力は $x=0$ で $\sigma_{max}=\frac{16T}{\pi d^3}$ だと分かります。